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作者:jdxyw

无穷,这是一个比较抽象的概念,如果我们说无穷,可能第一印象是那些很大很大的数,所以我们先从比较直观的大数开始。

大数与无穷大

在汉语中,如果我们要具体表示数量大小的话,我们可以用十,百,千,万,或是它们的组合一百万,一千亿,一万万亿等等去表示。如果是英语的话,我们就用hundred,thousand,million等去表示。当一个中国人对你说出一万亿亿,或是一个美国人民用着正宗的伦敦音跟你说ten billion的时候,你是不是觉的这些数字已经有点震撼到你了?其实这还只是热身。大家都用过Google吧,如果你对IT界的八卦比较熟悉的话,那么你应该知道,Google这个名字来源与西方世界的一个单词Googol,这是西方世界中能够用独立名词说出来的最大数,它为10的100次方。但这还不是最大的,在除了“浩瀚无边”,“恒河之沙”之类的虚幻性的描述和当当用数字表示以外,具有独立名称最大数是佛教的asankhyeya,它等于10的140次方。这些数已经很大了,对于我们大多数人来说,我们一生都不见的会遇见或是用到这么大的数。可是在无穷前面,无穷大与Googol的距离和无穷与1的距离是一样的。因此无穷大不是一个数,而是一个概念。

在数学和物理学上,有着许多不同的常数,可是如果你稍微留心一下,你就会发现它们之间有个很有趣的差别:数学上的常数都很小,而物理学上的常数要不很大,要不很小。在数学上,算是两大明星,可是它们的值一个大约是3.14,一个大约是2.72,跟物理学上的常数比起来,真是有点那不出手。物理学上一出手就是10的10次方以上,你要是弄个8次方,你都不好意思见人。例如电子质量是,普朗克常数是

以上举了这些大数的例子,视乎与无穷没有太大的联系。如果你这样想的话,就对了。因为它们都是陪衬。就像我在第一段讲的,无穷是一个概念,它是无法用数去表达出来的。无论你写出了多大的数,它与无穷大的距离与1还是一样的。哪怕你把宇宙中的所有原子排成一排,第一个当1,后面都当0,这个数依然离无穷大很遥远。无穷大是一个无法企及的距离。在现代数学中,我们用表述无穷大,这是英国数学家在1655年首次使用这个符号。

级数与无穷

我们先来看一个非常著名的级数-“调和级数”

如果问你一个问题,这个级数是发散的还是收敛的?如果你对数学不是很了解的话,乍一看,这就是一个收敛的级数。然而你错了,这是一个实实在在发散的级数。只不过它的发散速度实在是令人发指。调和级数的前1000项的和约为7.485,前100万项的和约为14.357,前10亿项的和约为21,前一万亿项和约为28,当它的和超过100时,如果每一项在纸带上只占1毫米,我们必须使用10^43毫米长的纸带,这大约是10^25光年,而宇宙估计尺寸只有10^12光年。当宇宙都已经被贯穿了,而调和级数才不过100.如果想让其趋向无穷,我觉的这件事情还是交给无穷去做吧,人类就不要插手了。

另外一个无穷级数的例子,跟一个著名的悖论有关系,那就是芝诺悖论:

“AB两点,一个人从A点走向B点,他必然要经过AB的中点,我们称为C点。同样他也要经过C和B的中点,我们称为D,依次反复,他要经过无穷个中点,因此,他永远也到不了B点”

这种说法乍一看,视乎是正确的。但是我们可以看看下面的一些计算,首先假设AB之间的距离为1米,这个人走的速度是每秒1米。根据这个人要经过无数个中点,我们可以得到下面这个式子:

S为他通过的距离。大家一看这个无穷级数,立马可以得出S的值为1.而人行走的速度为每秒1米,我们可以用同样的式子计算出行走的时间为1秒。

Euler一生中最喜欢研究的一个方面就是无穷级数了。在他的那本被称为数学界的七大奇书之一的《无穷分析引论》中,可以看到他用大段大段的篇幅介绍着各种各样的无穷级数:

这些级数如果没有了无穷这个条件,是无法写出这样优美的式子,你可以这样说是无穷赋予了它们生命,没有了无穷的这个条件,这些式子就失去了意义。

康托尔眼中的无穷

康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家,集合论的创立者。是数学史上最富有想象力,最有争议的人物之一。19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责。然而数学的发展最终证明康托是正确的。他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造。

以上是一段康托尔的介绍,还是要告诫同学们,没有很强大的精神力量,为了身心健康,要谨慎的去思考宇宙从何而来,将往哪去?“苍穹深深深几许”之类的问题。

康托尔认为,不是只存在一个无穷大,而是有很多类型的无穷大;这些种类在本质上互不相同,但在很大程度上也像寻常数一样可进行互相比较。这种观点与当时流行的观点不同。换句话说,无穷大与无穷大是不一样的,还是有高低大小之分的。

我们先来看一个例子。大家先考虑一个问题,是自然数集合大还是偶数集合大?也许很多人会脱口而出,当然是自然数集合大。要是我告诉你,它们一样大,你是不是觉的有点不可思议,有种我在散布伪科学的想法?

2    4    6    8    10    12    14    16…..

1    2    3    4    5      6      7     8……

我们可以看到,自然数集中的任何一个数都能在偶数集中找到唯一相对应的数,相反,偶数集中的任何一个数也能在自然数集中找到唯一的一个相对应的数。也就是说自然数集与偶数集一一对应,它们两个集合的元素数目一样多!这与我们平常的生活经验相悖-“整体大于部分”,一个集合的子集等于集合本身!这是多么让人难以相信的事情。有这样想法的人是很正常的,因为我们的经验局限于有限世界中,它们并没有扩大到无穷大。而在无穷集合的世界里面,有限集合的规律都被打破了,有种到了新的山头,有新的规矩的样子。

康托尔的理论是很博大的,感兴趣的同学可以自己找相关的熟悉看看。这里只不过是沧海一粟。

几何与无穷

我们说数学是美的,并不仅仅说它有着非常巧妙的证明,优美的公式。数学也能在感官上给予我们美的震撼,就像绘画,雕塑一般,有种不朽的感觉。

首先,先介绍一个人:埃舍尔。

埃舍尔把自己称为一个”图形艺术家”,他专门从事于木版画和平版画。1898年他出生在荷兰的 Leeuwarden,全名叫 Maurits Cornelis Escher. 说到埃舍尔,首先让人联想到的就是“迷惑的图画”。明明是向二楼上去的楼梯不知为什么却返回到了一楼,鸟儿在不断的变化中不知什么时候却突然变成了鱼儿,这些图画就是埃舍尔所描绘的幻想的异次元空间,它具有不可思议的魔力,征服着人们的心灵。他那特别稀有的画风在很长时间以来被美术界视为异端,后来数学家们开始关注埃舍尔的画面的高难度构成,接下来他的画又在年轻人中间大受欢迎,并在世界范围内确立了其不可动摇的地位。

有的时候,一张图片比上千字的说明都来的有效。周而复始的瀑布,走不完的楼梯,把我们带入到一个无穷无尽,没有开始,没有尽头,周而复始的世界当中。

无穷的话题是一个贯穿几千年数学历史的一个重要话题,从阿基米德推算出球体体积,到Euler的无穷级数的研究,从牛顿-莱布尼茨创建微积分,到康托尔的集合论,无穷这个概念在逐渐的得到完善和发展。不仅仅在数学上得到了充分的发展,在多年来的发展中,也让许多人重新思考了许多有关神学与哲学的问题。这里只是尽我所能,列出一些喜闻乐见的内容,希望大家对这个比较抽象的概念有个其它方面的认识。

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