作者：贾朝华教授

从哥德巴赫说开去（1）

从哥德巴赫说开去（2）

优美的猜想

英国数学家华林(E. Waring,1736-1798),在 1770 年出版 的《代数沉思录》一书中,首次提出了如下形式的哥德巴赫猜想:

一个标准的现代版本是这样的:

可以将它们写成下面的数学公式:

如果猜想 I 成立,那么对于奇数 N,我们可以将 N-3 表成两 个奇素数之和,因此猜想 II 就成立。也就是说,猜想 II 是 猜想 I 的推论。保留猜想 II 的一个原因是,可以使得猜想在 形式上关于奇数和偶数都有表述。

哥德巴赫猜想的表达形式简洁明了,体现了数学的优美感觉。 从乘法来看,素数是构成自然数的基本元素,在哥德巴赫猜想 中,将素数放到加法的环境里,实际上是刻画了加法和乘法的某种关系,而这两种运算在数学中是最基本和最常见的。

我们再从加法的角度,来看自然数的构成。如果将 1 重复地 相加,显然可以得到任何一个自然数,但这太没技术含量了。 稍微复杂一点,人们会尝试将一些特殊的数(比如素数)相 加,看能否得到任何一个自然数,这样就很有可能得到与哥 德巴赫猜想类似的结论。据说早在哥德巴赫之前,法国哲学 家和数学家笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)在他的手稿 里就有“每个偶数是至多三个素数之和”这样的叙述。

在哥德巴赫猜想产生的过程中,伟大的欧拉实实在在地当了 一回配角。我们已经看到,对于费尔马数问题,欧拉表现出了精湛的数学功力,但对于哥德巴赫猜想,欧拉却没有提出任何有价值的意见。这并不意味着欧拉对此没有兴趣或没有 深入思考,实际上他是深知这个问题的分量和难点所在的。

在欧拉那个时代,数学的主要工具是分析方法,主要研究对 象是连续的实数直线。而正整数在实数直线上是一些离散的 点,如何用处理连续对象的工具来研究离散情形,是一个非 常重要的课题。1737 年,欧拉提出了著名的乘积公式:当x > 1时,有

其中乘积中的 p 跑遍所有的素数。欧拉乘积公式开了用分析方法研究数论的先河,对于数论的发展影响非常重大。

在欧拉乘积公式中,令 x → 1 ,左边的级数

是发散的,因此,右面的乘积

不会是一个有限的数。由此可知,所有素数的个数不可能是有限的。这样,对于欧几里得关于素数个数无限的定理,我们就有了一个分析的证明。

然而在对于素数的认识方面,当时的人们并没有比欧几里得 走出多远。除了知道素数有无穷多个,再细致一点的信息就 不清楚了。比如,关于不超过 x 的素数个数,即

的一些基本性质,当时是很不清楚的。后来,高斯才对π(x) 的近似1公式有了一个猜想性的结果,而证明则是 1896年的事情了。

要弄清楚单个素数的变化,就已经如此之难,想要把两个或 三个素数的变化通过加法合在一起考虑,其难度可想而知。 虽然欧拉无法预料素数理论的发展,但他深知解决哥德巴赫 猜想已经远远超出他的能力之外。外行人不了解其中的深 浅,对于这样一个看似不太深奥的猜想,居然能使欧拉这样的顶级数学大师一筹莫展,他 们会感到很好奇。

优美的哥德巴赫猜想,让我们记住了香气飘逸的伊丽莎白女皇时代,而美轮美奂的叶卡捷琳娜宫,更使人对那个时代印象深刻。

早在 1717 年,彼得大帝在圣彼得堡郊外,为妻子叶卡捷琳娜修建消夏别墅,称为叶卡捷琳娜宫。1741 年,伊丽莎白女皇登基后,授权俄国最优秀的建筑师,对叶卡捷琳娜宫进 行了扩建和改造。改造后的宫殿长达 306 米,天蓝色和白色 相间的外表耀眼迷人,造型丰富的镀金雕塑和凹凸有致的结 构,使得整个建筑华贵而美观,宫殿上方五个圆葱头式的尖 顶,在碧空下金光灿灿,很远处就能望见。宫殿内部,金碧 辉煌的大厅一间挨一间,最具特色的算是琥珀厅,内部全部 用光彩夺目的琥珀装修而成,被称为是世界的奇迹。花园里芳草萋萋,绿树成荫,到处弥漫着花草的清香。湖面上波光 粼粼,荡漾着梦幻般的诗意。叶卡捷琳娜宫反映了俄罗斯帝 国蓬勃向上的气象,多少年来,这里的湖光林色被一代又一 代的俄罗斯诗人咏颂。

哥德巴赫踏上仕途之后,顺风满帆。1746 年,哥德巴赫受 赐封地,有了自己的庄园,虽不及皇家庄园富贵气派,却也宁静雅致,别有洞天。在俄罗斯广袤的土地上,各种庄园星 罗棋布,形成赏心悦目的风景。人们会巧妙地利用庄园周围 的自然资源,如河流、小溪、湖泊、山丘和森林,来营造一 个景色宜人、情调浪漫的环境。庄园里都辟有花圃和草坪, 湖畔河边有三两凉亭点缀其间,林荫小道,曲径通幽,漫步 庄园之中,让人流连忘返。秋天的艳阳,冬天的静雪,春季 的百合,夏季的紫丁香,使人品味无穷。著名的俄国小说家 屠格涅夫,在《罗亭》、《贵族之家》等长篇小说中,对于 俄罗斯贵族的生活有生动细致的描写。

清晨,哥德巴赫常常独自一人,信马由缰,徜徉在大自然的怀抱间。晚上,端上一杯格瓦斯(一种俄式饮料),凭窗远眺, 夜色朦胧中的田园风光,更让人心旷神怡,如同丘特切夫“静 静的夜晚”一诗中所写:

静静的夜晚,已不是盛夏,
天空的星斗火一般红,
田野在幽幽的星光下,
一面安睡,一面在成熟中....
啊,它的金色的麦浪,
在寂静的夜里一片沉默,
只有银色的月光
在那如梦般的波上闪烁....

粉色的月光

圣彼得堡科学院建立后,国外知名学者的引进确实带动了俄 罗斯科学的发展。在伊丽莎白女皇时代,俄罗斯本土的科学 家开始出现,罗蒙诺索夫是其中最杰出的一位。

罗蒙诺索夫(M. V. Lomonosov,1711-1765)出身于一个富 裕的渔民家庭,从小就有强烈的求知欲。当时平民受教育的 机会很少,所以他就冒充贵族子弟,考入莫斯科的斯拉夫— 希腊—拉丁语学院,不久成为那里最优秀的学生。后来,罗 蒙诺索夫被派到德国留学,1741 年学成回国,到圣彼得堡 科学院工作,1745 年担任化学教授。

罗蒙诺索夫 (M. V. Lomonosov), 俄国科学家、人文学者,莫斯科大 学的创建人。

罗蒙诺索夫通过试验,总结出了“物质不灭定律”,也就是“质 量守恒定律”,这一发现比法国化学家拉瓦锡的发现要早得 多。罗蒙诺索夫还创立了物理学中热的动力学说,指出热是 物质本身内部的运动,从本质上解释了热的现象。他在谈到 物质结构时指出,微粒是由一些元素集合而成,这已经具有 了“原子—分子学说”的思想。由于当时俄国的科学还很落 后,西欧对于俄国的科学成就并不重视,因此,罗蒙诺索夫 的这些重要学术思想没有得到广泛的传播。

罗蒙诺索夫还是一位出色的人文学者,他著有《俄罗斯古 代史》、《俄语语法》和《修辞学》等著作。他的“攻克 霍亭颂”(歌颂俄国对土耳其战争的胜利)、“伊丽莎白 女皇登基日颂”和“彼得大帝”等诗篇,被誉为俄国文学 史上古典主义的佳作。

莫斯科大学的创建是罗蒙诺索夫的一大历史功绩。罗蒙诺 索夫写信给伊凡 ? 伊凡诺维奇 ? 舒瓦洛夫公爵,他在信中表 示要在俄罗斯建立高等教育体系,并阐述了关于莫斯科大学的构想和具体的实施方案。舒瓦洛夫利用他在宫廷中的 影响力,积极推动莫斯科大学的创建。1755 年 1 月,伊丽 莎白女皇批准了罗蒙诺索夫的方案。同年 5 月,莫斯科大 学举行了盛大的开学典礼,当时设有哲学、法律和医学三 个系。1940 年,莫斯科大学被冠名为“国立莫斯科罗蒙诺索夫大学”。如今莫斯科大学已经是俄国规模最大、学术水平最高的高等学府,它是世界上最著名的大学之一,也是俄国诺贝尔奖获得者的摇篮。

俄国大诗人普希金把罗蒙诺索夫比作是“俄罗斯的第一所大学”,文学评论家别林斯基更 是用诗样的语言,赞誉罗蒙诺索夫“仿佛北极光一样,在 北冰洋岸发出光辉......光耀夺目,异常美丽”。

舒瓦洛夫不仅推动了莫斯科大 学的创建,而且还积极倡议建 立圣彼得堡美术学院。这所学 院创办于 1757 年,培养出了列宾、苏里科夫、希施金、瓦斯涅佐夫等一大批杰出的美术 大师,后世称舒瓦洛夫为著名 的教育家。舒瓦洛夫年轻时是一位翩翩美少年,被伊丽莎白女皇在一次巡游中发现,女皇顿觉喜不自胜,将舒瓦洛夫收为零距离的宠臣,后来又将他 升为公爵。舒瓦洛夫还和后来的叶卡捷琳娜二世女皇有过一 段暧昧,他是个专门吃软饭的人,连这种人都惦着为国奉献, 俄罗斯想不发达都难了。

[伊凡 ? 舒瓦洛夫]

虽然伊丽莎白女皇热衷于纸醉金迷的生活,但她有与生俱来 的政治天分,处理国事举重若轻,善于化解矛盾于无形,因 而,无论是和平年代还是战争时期,她都能牢牢掌控大局。

“七年战争”(1756-1763)是欧洲列强为争夺霸权而进行 的一场超级大战,交战的一方为普鲁士、英国等,另一方 为奥地利、法国和俄国等。普鲁士国王腓特烈二世亲率大军, 驰骋疆场。在 1757 年的罗斯巴赫战役和洛伊滕战役中,腓 特烈二世运用机动灵活的战术,以少胜多,取得了辉煌的 胜利,在军事史上留下了赫赫威名。然而,伊丽莎白女皇并不示弱,她运筹帷幄,调兵遣将,屡次挫败普军。由伊丽莎白女皇、奥地利女王玛丽亚 ? 特蕾西娅、法国国王路易十五的情妇蓬帕杜夫人订立的联盟,被腓特烈二世称作“三 条裙子的联盟”,正是这个联盟使得他在政治、军事和外 交上以寡敌众,在大局上逐渐转向被动。柏林一度丢失, 腓特烈二世越来越招架不住,他感到很绝望,甚至携带毒 药随时准备自杀。

十九世纪的圣彼得堡

在“七年战争”期间,作为外交官的哥德巴赫,周旋于各国政府之间,显示了出色的外交才华,还没到战争结束,他 就得到了提升。1760年,哥德巴赫升任枢密院顾问,年薪 3000 卢布。枢密院是俄国最高咨询机构,其职责是审议重 要的国务,回应沙皇的咨询,大凡担任枢密院顾问的人,都 是身份特殊的重量级人物。据记载,当时沙皇赏给某位重臣 的养老金是 5000 卢布,沙皇举办一次盛大的活动,花费约 为 1 万多卢布,由此可见,年薪 3000 卢布是非常高的待遇。 哥德巴赫担任枢密院顾问后,负责制定了俄国皇家儿童教育 准则,这个准则管理俄国儿童达一个世纪之久。

1761 年 12 月,伊丽莎白女皇病逝。临终前,她指定她姐姐 的儿子卡尔 ? 彼得 ? 乌尔里希(1728-1762)为皇位继承人, 称彼得三世(1762 年在位)。彼得三世是彼得大帝的外孙, 他的父亲是一位德国公爵。这位彼得从小在德国长大,在腓 特烈二世的宫廷里受到过培养,对于普鲁士的军事制度和德 国文化狂热崇拜,他不喜欢香喷喷的女皇、公主,就喜欢酷 酷的腓特烈二世。腓特烈二世确实是个很有特点的人,他骑 一匹个头不大但很善奔跑的阿拉伯马,戴一顶旧军帽,鼻烟 盒不离身,打仗时常和士兵们一起风餐露宿。平时,腓特烈 二世除了爱谈论哲学问题外,还喜欢吹长笛,并且写过 120首长笛奏鸣曲,此外他还会用法文写诗。

彼得三世 (1728-1762) 被妻子叶卡捷琳娜政变夺权

彼得三世刚一上台,就与腓特烈二世结为同盟,他归还了俄 国占领普鲁士的全部领土,并且命令俄国军队调转枪口,同 昔日的盟友奥地利作战。1763 年 2 月,“七年战争”结束, 普鲁士和英国成为这场战争的赢家,腓特烈二世能够成就大 帝的伟业,彼得三世是帮了大忙的。然而,彼得三世的行为 已经极大地损害了俄罗斯的国家利益,但他的自我感觉却十 分良好,他也想干出一些流芳千古的事情来。于是,彼得三 世采取了一些改善下层人民生活的措施,没收了教会的一些 土地,强迫军队普鲁士化等。但是他的所作所为引起了俄国 统治阶层的强烈不满,也加速了另一位历史人物的登场。

彼得三世的皇后叶卡捷琳娜 ? 阿列克谢耶芙娜(1729-1796) 是彼得的姑姑的女儿,她是一个纯粹的德国人,后来取了 一个俄国名字。1745 年,叶卡捷琳娜与当时还是大公的彼 得三世在圣彼得堡结婚。关于婚礼上的新娘叶卡捷琳娜, 有这样的描写:她的身材修长而妙曼,淡粉色的皮肤衬托 出一头浓密金发的光彩,鹅蛋形的脸庞线条分明,鼻梁高挑, 两片红唇美艳而性感,碧蓝色的眼睛流露出万种风情,...... 来参加婚礼的嘉宾,无不为之惊艳,令大家想不到的是, 在这样美丽的容貌下面,还有一个睿智的大脑和一颗勃勃的雄心。

叶卡捷琳娜深知,她的未来将与俄罗斯紧密地联系在一起, 于是,她努力学习俄语和俄国宫廷礼仪,虔诚地信仰东正教, 详细研究俄国的历史、文化和风俗,并表现出发自内心的尊 重。她的这些做法,赢得了俄国统治阶层的交口称赞,与彼 得的做法形成了鲜明的对比。由于叶卡捷琳娜同彼得的志趣 与秉性不合,导致了他们婚姻的不幸。

鲜艳的花朵容易招蜂惹蝶,而叶卡捷琳娜又不是一个甘于寂 寞的角色,因此她很快就有了一些心仪的情人,多为近卫军 中英俊健美的军官,其中与格里戈利 ? 奥尔洛夫最为亲密, 他在后来的政变中是出了大力的。此外,叶卡捷琳娜还广交 政治盟友,积极发展自己的势力,她做足了功课,只等待一 个好机会。

彼得三世上台后所推行的一系 列政策,遭到了俄国统治集团 的强烈反对,这给了叶卡捷琳娜一个绝好的机会。1762 年 7 月的一天,趁着彼得三世去外 地的时机,叶卡捷琳娜带领一支部队政变,其他部队纷纷倒戈,在一片“我们的小母亲叶 卡捷琳娜”、“女皇万岁”的欢呼声中,她被推上沙皇的宝座, 称叶卡捷琳娜二世(1762-1796 在位)。宫廷显贵、教会人 士和各国公使,争先恐后地迎接新女皇。下台后的彼得三世, 很快就神秘地死去了。

叶卡捷琳娜二世

叶卡捷琳娜二世上台之后,一方面加强中央集权,维护和发 展农奴制度;另一方面,她奉行开明专制,理顺各种关系, 充分调动各方面的积极性,大力促进生产力的发展。在她当 政的 34 年间,俄国手工工场大规模增加,生铁产量居世界 首位,进出口贸易大幅度增长,并有巨额贸易顺差。俄国的 经济实力和军事实力空前强大,帝国进入鼎盛时期。

大多数帝王都想治理好国家,即使是彼得三世,他也是想有 所作为的,但能否治理好国家,要取决于政治智慧和能力。 与伊丽莎白女皇不同,叶卡捷琳娜二世出身于德国的一个小 公爵家庭,她的政治才能很难从血统和家传上找到原因。早 年的叶卡捷琳娜,热衷于阅读法国启蒙运动思想家伏尔泰等 人的著作,登基以后,她与伏尔泰有频繁的书信往来,并将启蒙运动的思想运用到政治实践中去。叶卡捷琳娜后来的一 些情人中,也有像格里戈利 ? 波将金元帅这样的政治家、军 事家和外交家,无论卧榻之上,还是云雨之间,无时不在探 讨治国安邦的大计。有道是热爱是最好的老师,无论对于科 学还是政治,都是同样的道理。

在叶卡捷琳娜时代,俄罗斯的版图大大扩张。俄国通过两次 对土耳其的战争,将曾经不可一世的奥斯曼帝国打得没了元 气,实现了彼得大帝打通黑海出口的梦想。俄国还伙同普鲁 士、奥地利三次瓜分波兰,并侵占了立陶宛、白俄罗斯和西 乌克兰的大部分领土。在亚洲方面,俄国蚕食高加索,侵入 哈萨克草原,并完全占领了西伯利亚北部,获得了丰富的森 林和矿产资源。此外,俄国还占领了北美的阿拉斯加地区, 并在加利福尼亚建立了一块殖民地。叶卡捷琳娜二世曾有这 样的豪言:“假如我能够活到二百岁,全欧洲都将匍匐在我 的脚下!”

叶卡捷琳娜二世对于俄国做出了巨大的贡献,得到了俄国人 的一致称赞,后世尊称她为叶卡捷琳娜大帝。在俄国历史上,只有她和彼得一世有此殊 荣。即使是反对沙皇专制的普 希金,对于叶卡捷琳娜大帝还 是满怀敬仰之情的。他在长诗 “皇村记忆”中,称叶卡捷琳 娜时代是“我们的黄金时代”, 他说“想当时,在伟大女皇的 权杖下,快乐的俄罗斯曾戴着荣誉的冠冕,像在寂静中盛开的花!”

哥德巴赫一直活到了辉煌的叶卡捷琳娜时代,可惜年事已高,无法有更大的作为。1764 年 11 月 20 日,哥德巴赫逝世于莫斯科,享年 74 岁,在那个时代算是高寿了。哥德巴 赫安息在俄罗斯的青山绿水之间,与白桦林为伴,沐浴着女 皇粉色的月光。

在叶卡捷琳娜一世之前,俄国没有女皇,而在叶卡捷琳娜二世之后,俄国再没出现过女皇,哥德巴赫恰好经历了俄国历史上全部四位女皇的朝代。也许哥德巴赫猜想折射了女皇们的光彩, 所以才显得如此美艳动人,引得一代代数学家心驰神迷。

皇冠上的明珠

关于哥德巴赫的生平,文献中记载很少,即使是数学史专家, 也未必十分了解。莫里斯 ? 克莱因(Morris Kline)在他的名著《古今数学思想》第二册第367页上,称哥德巴赫是“普鲁士派往俄罗斯的一位公使”,这显然是不对的。哥德巴赫 与欧拉的通信,有不少被保留下来,但信中的文字多是德文与拉丁文的混合体,读起来相当困难。其中关于哥德巴赫猜 想的通信,早就被翻译整理出来,但后来的数学家谈到哥德巴赫猜想时,一般都采用标准的现代版本,很少引用原信。

然而,正如我们已经看到的那样,哥德巴赫在当时的社会中, 是和各方面都有广泛联系的人物,关于他的研究会是一件有趣和有意义的事情。哥德巴赫的人生历程,对于后来者也有 一定的借鉴意义。

我们已经讲了哥德巴赫和他那个时代的一些事情,关于哥德巴赫猜想后来的发展,我们再来做一点简单的介绍。

这是 I. M. Vinogradov 早年创作的两张漫画,讲述自己对 Goldbach 问题研究过程的体会。漫画在所有当事人(Hardy, Littlewood, I. M. Vinogradov) 都去世之后,才由 I. M. Vinogradov 的学生 A. A. Karatsuba 在纪念 I. M. Vinogradov 的文集里发表。文集刊于俄文期刊 Proc. Steklov Inst. Math., 有英译。 该漫画原作,现存 I. M. Vinogradov 的另一个学生 V. N. Chubarikov 处。V. N. Chubarikov 曾把该漫画复制赠送刘建亚,复制件现存山东大学数 学学院图书馆。

虽然数论的历史非常悠久,但它成为数学的一个独立分支却是比较晚的事情。高斯于 1801 年发表的著作《算术研究》, 被认为是数论作为一门独立学科诞生的标志,这里的“算术”是指“高等算术”或“数论”。高斯对于数论特别钟爱,徐 迟在报告文学“哥德巴赫猜想”中,有过“自然科学的皇后 是数学,数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想,则是皇冠上的 明珠。”这样的描述,其中采用了高斯的一些说法。关于不超过x的素数个数π(x),高斯做过这样的猜测:当 x → ∞ 时,有

这里 ln x 为自然对数。如果这个猜测成立,则它就叫做素数 定理。

1850 年,圣彼得堡科学院的切比雪夫(P. L. Chebyshev)证 明了,

其中 c1 , c2 是正的常数。这是在欧几里得证明了素数个数无限之后 , 人们关于 π ( x ) 第一个重要的理论结果 。 切比雪夫在证明中用到的工具是微积分。

历史名城莫斯科;1764 年哥德巴赫在此去世。

革命性的变化发生在 1859 年。当时,德国数学家黎曼(G. F.B. Riemann)发表了题为“论不超过一个给定值的素数个数”的论文,其中他用复变函数的理论来研究π(x)。黎曼的出发点,仍是欧拉乘积公式

此时的 s 可以是任意实部大于 1 的复数。黎曼将等式左边的级数看成是变量 s 的函数,称为 zeta 函数。他将 zeta 函数解析开拓到整个复数平面( s = 1 是唯一的极点 ) , 在 π ( x )和 zeta 函数的零点之间建立起了一个关系式。黎曼的研究 表明,素数定理与 zeta 函数的零点分布有着密切的关系。 想想关于正整数的问题,要用虚数来研究,这是多么令人惊 奇的事情。在数学中,有时将局部性的问题提升到更广阔的 空间里考虑,常常会收到意想不到的效果,正所谓“欲穷千 里目,更上一层楼”。

虽然黎曼没有给出关于π (x) 的具体 结果,但他为素数定理的研究指明了方向。正是沿着这个方向,1896 年,法国数学家阿达马(J. S. Hadamard)和比利时数学家普桑(Charles Jean de la Vallée Poussin)独立地证明了素数定理。至此, 人们对于单个素数的变化,已经有了比较深刻的认识。

1900 年,第二届国际数学家大会在巴黎举行,大数学家希 尔伯特(David Hilbert)作了题为“数学问题”的讲演。在 这篇著名讲演中,他为新世纪的数学家提出了 23 个问题, 这些问题对于后来的数学发展产生了深刻的影响。希尔伯特 以有机统一的观点,来看待数学的整体发展,他将哥德巴赫 猜想作为第 8 问题(即“素数问题”)的一部分,从此哥德巴赫猜想不再是孤立的数学难题,而成了近代数学重要的一环。后来的发展证明 ,希尔伯特的眼光是非常正确的。

从 1920 年开始,英国数学家哈代(G. H. Hardy)和李特尔 伍德(J. E. Littlewood)发表系列文章(共 7 篇),开创与 发展了一种崭新的数论方法,这种方法称为圆法。对于奇数 N,我们用圆法可将方程  N=p1+p2+p3, pi≥3  的解的个数表示成积分

如果能够证明这个积分大于零,那么我们就证明了关于奇数的哥德巴赫猜想。在这个积分里,和式

称为素变量的线性指数和,关于它的研究是一件困难的事情。

对素数理论和哥德巴赫猜想作出重要贡献的数学家 ,依次为高斯 , 黎曼 , 阿达马 , 普桑

哈代和李特尔伍德在一个很强的假设下证明了:对于每个 充分大的奇数 N,上述积分大于零,因而哥德巴赫猜想成立。 因为其中的假设至今仍无法证明,所以他们得到的只是一 个条件性结果。虽然如此,他们为奇数哥德巴赫猜想的研 究开辟了一条正确的道路,而圆法也成了数论中最基本的 方法之一。

1937 年,苏联数学家维诺格拉朵夫(I. M. Vinogradov)提出了一套处理素变量线性指数和的独创性方法,从而无条件地证明了:对于每个充分大的奇数,哥德巴赫猜想成立。维 诺格拉朵夫的结果称为三素数定理,它是数学上最重要的成就之一。

由三素数定理可知,对于大于某个界限的所有奇数,哥德巴 赫猜想成立,而在这个界限之内只有有限个奇数,我们逐个来验证就可以了。然而这个界限大得惊人,以目前计算机的 能力还无法完成验证工作,但在数学家们看来,奇数哥德巴赫猜想算是基本上解决了。

对素数理论和哥德巴赫猜想作出重要贡献的数学家 ,依次为哈代 , 李特尔伍德 , 维诺格 拉朵夫 , 布朗。

由于技术上的原因,圆法不适用于偶数哥德巴赫猜想,人们 只能另觅途径。1920 年,挪威数学家布朗(V. Brun)对筛 法作了重大改进,用它来研究偶数哥德巴赫猜想。筛法是一 种用来寻找素数的十分古老的方法,它是由公元前 200 多年 古希腊学者埃拉托塞尼斯(Eratosthenes)所创,我们今天 在制作素数表时还会用到这种方法。

由于筛法的一些局限性,用它很难一步达到偶数哥德巴赫猜 想,因此只能采取逐步逼近的方式。布朗用改进后的新筛法 证明了,每个充分大的偶数都可以表为两个正整数之和,其 中每个正整数的素因子个数均不超过 9,这个结果称为命题 (9+9)。类似地,命题(a+b)是指,每个充分大的偶数 都可以表为两个正整数之和,其中一个的素因子个数不超过 a,而另一个的素因子个数不超过 b。通过不断地减小 a 和 b,最终达到(1+1),就基本上解决偶数哥德巴赫猜想了。布 朗之后的不少学者,正是沿着这样的路子,不断发展筛法技 术,逐步减小命题中的素因子个数。而筛法的进步,也为深 入研究其它重要数论问题提供了有力的工具。

1956 年,中国数学家王元证明了命题(3+4),由此开启了 我国在偶数哥德巴赫猜想命题(a+b)研究上的先河。之后, 王元和另一位中国数学家潘承洞又得到了若干重要的结果, 使得我国在哥德巴赫猜想方面的研究达到了国际先进水平。

1965 年,苏联数学家维诺格拉朵夫(A. I. Vinogradov,不是 前面提到过的 I. M. Vinogradov)和意大利数学家邦别里(E. Bombieri)各自独立地证明了命题(1+3)。1974 年,邦别 里被授予菲尔兹(Fields)奖,表彰他在数论方面 [包括证 明命题(1+3)] 以及在极小曲面和有限群论方面的工作。

1966 年,陈景润宣布证明了命题(1+2)。1973 年,他发表了命题(1+2)的全部证明。陈景润的工作得到了国际数 学界广泛的赞誉,被公认为是筛法理论最出色的应用,是 关于偶数哥德巴赫猜想研究最杰出的成果。陈景润的事迹 由徐迟写成报告文学后,广泛传播,家喻户晓,这是大家 所熟知的了。

陈景润先生 1996 年 3 月在北京逝世,潘承洞先生 1997 年 12 月在山东济南逝世。

王元先生刚刚度过 80 寿辰,仍然参加一些学术活动,并常 作讲演。他擅长书法,为《数学文化》创刊号题写了贺词。

关于哥德巴赫猜想的通俗介绍和中国数学家数论工作的简 明回顾,大家可以看文章 [4] 和 [5]。

参考资料

[1] E. T. Bell, 数学精英, 商务印书馆, 1994.
[2] 蔡天新, 难以企及的人物, 广西师范大学出版社,2009.
[3] 陈一心, 哥德巴赫, 世界著名科学家传记 ( 数学家,V), 40-44, 科学出版社, 1994.
[4] 贾朝华, 哥德巴赫猜想, 10000 个科学难题 ( 数学卷 ), 101-103, 科学出版社, 2009.
[5] 宗传明, Analytic number theory in China, TheMathematical Intelligencer, 32(2010), no.1, 18-25.

作者介绍:

贾朝华,北京大学数学博士,中国科学院 数学研究所研究员。 研究领域为解析数论, 主要研究素数理论中 的一些课题。

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